Résumé du conte

Cette légende raconte comment un sage indien parvint à surprendre un roi avec une demande en apparence modeste : déposer un simple grain de blé sur la première case d’un échiquier, puis doubler à chaque case suivante. Le roi, amusé, accepta sans hésiter ! Mais cette suite de doubles cachait un piège mathématique, et une récompense impossible à donner.

À propos du conte

Cette légende indienne met en scène Sissa ibn Dahir, un personnage mythique de l’Inde à qui l’on attribue l’invention du Chaturanga, ancêtre des échecs.
Transmise par un vieux manuscrit, cette histoire raconte que le roi demanda à Sissa quelle récompense il souhaitait pour son invention.

Le sage répondit par le problème du blé et de l’échiquier, montrant que les choses ne sont pas toujours ce qu'elles semblent être.

Simple à raconter, avec une progression nette, cette histoire amène les élèves à s’étonner… avant même de faire des calculs.

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Maths

Puissances, doublements, grands nombres…
et un roi dépassé

Quand Sissa propose au roi de doubler les grains sur chaque case d’échiquier, il lance sans le dire un défi mathématique : celui de la croissance exponentielle.

Au 64ᵉ carré, le total atteint $2^{64}–1=18446744073709551615$ grains !

👦🏻 Âge cible : 9–10 ans (CM1–CM2)

⏰ Durée estimée : 1 h

📎 Matériel : calculatrice, tableau, fiche élève

🎯 Objectifs pédagogiques

Développer les compétences suivantes :

• Calculer et utiliser des puissances de 2
• Comprendre et additionner les termes d’une suite géométrique simple
• Manipuler l’écriture et la lecture des grands nombres.
• Interpréter une situation de croissance rapide.

🔢 Notions mathématiques en jeu

• Puissances de 2 :

$2^0=1;2^1=2;2^2=4=2\times 2;2^3=2\times 2\times 2=8;$ etc.

En général : $2^n=2\times 2^{n-1}$.

• Suite géométrique de raison 2 :

Premier terme $u_0=1$ ;

$u_n=2^n$ ;

Somme des n+1 premiers termes :

$S_n=2^{n+1}-1$

• Somme des n premiers termes :

$S_0=1$ ;  

$S_1=1+2=3$ ;  

$S_2=1+2+4=7$ ;  

$S_3=1+2+3+4+8=18$

On remarque que $S_1=2^2-1$ ; $S_2=2^3-1$ ; $S_3=2^4-1$

Ainsi on aura $S_{63}=2^{64}-1$

• Grands nombres :

million = ${10}^6$

milliard = ${10}^9$

billion (en échelle longue) = ${10}^{12}$

billiard = ${10}^{15}$

trillion = ${10}^{18}$

trilliard = quadrillion = ${10}^{24}$

quintillion = ${10}^{30}$

🟢 Activité 1. Puissances de 2

Calcule $2^5$, $2^8$, $2^{10}$, $2^{12}$

🟢 Activité 2. Somme de suite géométrique

Vérifie que $1+2+4+\cdots +2^5=2^6-1$

🟢 Activité 3. Grains sur l’échiquier

Combien de grains sur la 10e case ?

Combien en tour sur les 10 premières cases ?

Et sur les 64 cases ?

🟢 Activité 4. Lire et écrire les grands nombres

Écris en lettres :

$2^{16}=65536$ ;

$S_{63}\approx \mathrm{1,844}\times {10}^{19}$. (Maîtrise des grands nombres)

🟢 Activité 5. Une croissance qui explose

Pourquoi la suite des grains devient-elle “astronomique” ?

Donne des exemples concrets de doublement :  croissance d’une population, fuite d’eau, pliage de papier… Interprétation ?

Corrigé

1. Puissances de 2

$2^5=32;2^8=256;2^{10}=1024;2^{12}=4096$.

2. Somme de suite géométrique

$S_5=1+2+3+4+\dots +32=63$, et $2^6-1=64-1=63$.

3. Grains sur l’échiquier

10ᵉ case : $u_9=2^9=512$ grains.

Total des 10 cases : $S_9=2^{10}-1=1024-1=1023$ grains.

Sur 64 cases :

$S_{63}=2^{64}-1\approx 1,844\times {10}^{19}$ grains.

4. Lire et écrire les grands nombres

$65536$ (soixante-cinq mille cinq cent trente-six),

$S_{64}$ = dix-huit trillions 446 billiards 744 billions 73 milliards, 709 millions, 551 mille six cent quinze.

5. Une croissance qui explose

Quand on multiplie un nombre plus grand que 1 par lui-même un grand nombre de fois, le résultat devient très vite très grand.

Exemple :

population bactérienne qui double chaque heure, volume d’eau dans une fuite doublant quotidiennement…