Резюме на приказката

Тази легенда разказва как един индийски мъдрец успял да изненада един цар с уж скромна молба: да сложи едно зърно пшеница на първото поле на шахматна дъска, а след това да удвоява зърната на всяко следващо поле. На царя му било забавно и се съгласил без колебание! Но тази последователност от удвоявания криела математически капан и невъзможна за изпълнение награда.

За приказката

Тази индийска легенда представя Сиса ибн Дахир, митичен персонаж на Индия, на когото се приписва изобретението на Чатуранга, предшественик на шахмата.
Предавана от стар ръкопис, тази история разказва как царят попитал Сиса каква награда желае за своето изобретение.

Мъдрецът отговорил със задачата за пшеницата и шахматната дъска, показвайки, че нещата не винаги са това, което изглеждат.

Лесна за разказване, с ясна прогресия, тази история кара учениците да се удивляват... преди дори да правят изчисления.

👉 Открийте приказката

Математика

Степени, удвоявания, големи числа...
и един победен цар

Когато Сиса предложил на царя да удвоява зърната на всяко поле от шахматната дъска, той без да го съзнава, отпровил математически предизвикателство: това на експоненциалния растеж.

На 64-то поле общата сума достига $2^{64}–1=18446744073709551615$ зърна!

👦🏻 Възрастова група: 9–10 години (IV клас)

⏰ Продължителност: 1 час

📎 Материали: калкулатор, дъска, ученически лист

🎯 Педагогически цели

Развиване на следните умения:

• Изчисляване и употреба на степени на 2
• Разбиране и събиране на членовете на проста геометрична прогресия
• Работа с писането и четенето на големи числа.
• Интерпретиране на ситуация на бърз растеж.

🔢 Математически понятия

• Степени на 2:

$2^0=1;2^1=2;2^2=4=2\times 2;2^3=2\times 2\times 2=8;$ и т.н.

Общо: $2^n=2\times 2^{n-1}$.

• Геометрична прогресия с отношение 2:

Първи член $u_0=1$;

$u_n=2^n$;

Сума на първите n+1 члена:

$S_n=2^{n+1}-1$

• Сума на първите n члена:

$S_0=1$;  

$S_1=1+2=3$;  

$S_2=1+2+4=7$;  

$S_3=1+2+3+4+8=18$

Забелязва се, че $S_1=2^2-1$; $S_2=2^3-1$; $S_3=2^4-1$

Така ще имаме $S_{63}=2^{64}-1$

• Големи числа:

милион = ${10}^6$

милиард = ${10}^9$

билион (дълга скала) = ${10}^{12}$

билиард = ${10}^{15}$

трилион = ${10}^{18}$

трилиард = квадрилион = ${10}^{24}$

квинтилион = ${10}^{30}$

🟢 Упражнение 1. Степени на 2

Изчислете $2^5$, $2^8$, $2^{10}$, $2^{12}$

🟢 Упражнение 2. Сума на геометрична прогресия

Проверете, че $1+2+4+\cdots +2^5=2^6-1$

🟢 Упражнение 3. Зърна на шахматната дъска

Колко са зърната на 10-то поле?

Колко общо са зърната на първите 10 полета?

А на 64-те полета?

🟢 Упражнение 4. Четене и писане на големи числа

Напишете с думи:

$2^{16}=65536$;

$S_{63}\approx \mathrm{1,844}\times {10}^{19}$. (Овладяване на големите числа)

🟢 Упражнение 5. Експлозивен растеж

Защо редицата от зърна става "астрономическа"?

Дайте конкретни примери за удвояване: растеж на население, изтичане на вода, сгъване на хартия... Интерпретация?

Решения

1. Степени на 2

$2^5=32;2^8=256;2^{10}=1024;2^{12}=4096$.

2. Сума на геометрична прогресия

$S_5=1+2+3+4+\dots +32=63$, и $2^6-1=64-1=63$.

3. Зърна на шахматната дъска

10-то поле: $u_9=2^9=512$ зърна.

Общо на 10-те поля: $S_9=2^{10}-1=1024-1=1023$ зърна.

На 64-те поля:

$S_{63}=2^{64}-1\approx 1,844\times {10}^{19}$ зърна.

4. Четене и писане на големи числа

$65536$ (шестдесет и пет хиляди петстотин тридесет и шест),

$S_{64}$ = осемнадесет трилиона 446 билиарда 744 билиона 73 милиарда, 709 милиона, 551 хиляди шестстотин и петнадесет.

5. Експлозивен растеж

Когато умножаваме число, по-голямо от 1, по себе си много пъти, резултатът става много бързо много голям.

Пример:

бактериална популация, която се удвоява всеки час, обем на вода при изтичане, удвояващ се ежедневно...