Mатематически процес
Решаването на проблем не означава да стигнеш директно до резултата. Преди да достигнеш целта, трябва да извървиш път! Често този път се пренебрегва, защото е личен, вътрешен, невидим: търсене, формулиране на хипотези, опити, грешки, корекции… и накрая обяснение. Истинско приключение, със своите перипетии!
Приказките, представени тук, придават смисъл на това пътуване. Като Малкия Палечко, вървим стъпка по стъпка, пазейки следата на направеното. Като Трите прасенца, изпробваме различни методи, преди да извикаме еврика. (Ще последват и други примери.)
Тези приказки служат като опора, за да се дадат образи и думи на преживяното от учениците в процеса на търсене. Те премахват драмата от преживяването (колебанията и новите опити са част от процеса) и очовечават математиката, като я свързват с изразими емоции и споделени разкази.
Както в една приказка, вървим стъпка по стъпка, изследваме, изгубваме се, започваме отново; постепенно, с упоритост, откриваме своя път, достигаме до ново разбиране — и радостта от откритието е там.
Защо разказването на история е подобно на извеждането на доказателство?
Героят си живее живота, но се появяват интриги и обрати. Той среща положителни и отрицателни персонажи, в свят със собствени правила и вътрешна логика. Накрая възникват неочаквани събития и търсенето напредва. И най-сетне разбираме нещо, което преди не знаехме.
Същото е и с доказателството. Изправени пред позната ситуация, можем да разгледаме няколко конкретни примера, но после трябва да обобщим и да решим далеч по-общ проблем, първоначално толкова голям, колкото планина. Ала благодарение на „свитъците на Древните“ — изпитани формули, приложими при определени условия — след малко работа решението идва и най-после разбираме.
Да запомним доказателство е много подобно на това да разкажем история. Трябва да откроим ключовите моменти, намесата на точния „персонаж“ в точния миг — някой стар грък с теорема, приложима при конкретни условия — така че вътрешните правила да променят контекста до щастливия завършек. Но ако пропуснем детайл, цялата история може да се срути.
Защо трябва да оставяме „малки камъчета“?
Да отбелязваме пътя си — трохи или малки камъчета, било крехки, било устойчиви — е общо за много приказки и за математиката. Това ни позволява да намираме отново посоката; без тях рискуваме да се изгубим.
Записките са решаващи в математиката. Разписваме пресмятанията. Така разтоварваме работната памет и освобождаваме място за друга информация. При грешка можем да се върнем назад и да видим къде сме пропуснали нещо. При успех същият ход води до нов успех — по-бързо следващия път.
Защо грешката е учител?
Стратегиите на героя са различни. Рядко изпълнява задачата от първия път. Опитва отново и отново, с друг ъгъл на атака, с гъвкавост в подходите. Това го променя: трупа опит — както трите прасенца могат да се видят като три версии на един и същи герой, който узрява при всеки опит. Неуспехът те преобразява и може да те усъвършенства. Разрешаването на сериозен проблем изисква постоянство, оригиналност, гъвкавост и усилие.
Така е и в приказките, и в математиката. Добрата история струва „скъпо“ на труд. Както казва Корней: „Който побеждава без риск, триумфира без слава.“
Защо трябва да се пазим от привидностите?
Дали си бърз или бавен, голям или малък — това само по себе си не решава проблема. Важно е да отделим време за размисъл, да отложим очевидното решение, да проявим критично мислене. В приказките привидно простото често се оказва по-извито. Трябва да се докаже стойност, както математическото твърдение изисква строго, формално доказателство. Просто натрупване на „доказателства“ не е достатъчно. Лъжи могат да се крият зад очевидното; малък проблем може да се окаже труден, а голям — решим с проста, но силна хитрост.
Понякога „не разбирам“ означава „не съм приел рамката“
Светът на една приказка може да не е очевиден отначало. Трябва да предположим неща, да приемем някои аксиоми: животните говорят, героите могат да са дребни като палец — и така се създава контекст, в който определени хитрости са съгласувани с вътрешната логика на историята.
Същото важи за повечето математически понятия: трябва да приемем, че „работи така“. Понякога „Не разбирам“ означава просто „Не приемам вашите аксиоми“. Трябва да осъзнаем, че понякога няма какво да „се схване“ — има рамка за приемане; без нея историята (или доказателството) не може да се разгърне.